Cách chứng minh Hai vecto vuông góc (cực hay, chi tiết).

Bài viết Cách chứng minh Hai vecto vuông góc với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh Hai vecto vuông góc.

Cách chứng minh Hai vecto vuông góc (cực hay, chi tiết)

A. Phương pháp giải

Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa

Nếu thì hai vectơ vuông góc với nhau, kí hiệu .

Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của tích vô hướng và áp dụng trong hệ tọa độ

Cho .

Khi đó:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai vectơ vuông góc với nhau và . Chứng minh hai vectơ vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có . Chứng minh hai vectơ vuông góc.

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC và điểm D bất kỳ thuộc cạnh AC. Tính AD theo a để BD ⊥ AM.

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho veto =(9;3). Vectơ nào sau đây không vuông góc với vectơ .

Hướng dẫn giải:

Kiểm tra các tích vô hướng , nếu đáp án nào cho kết quả khác 0 thì kết luận vectơ đó không vuông góc với .

Đáp án C

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ . Tìm k để hai vectơ và vuông góc với nhau.

A. k = 20

B. k = -20

C. k = -40

D. k = 40

Hướng dẫn giải:

Đáp án C

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hai vecto $\overrightarrow{a}(1;2)$ và $\overrightarrow{b}(-1;m)$. Tìm m để hai vecto $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Hai vecto trên vuông góc với nhau khi và chi khi

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\iff 1.(-1)+2m=0\iff m=\frac{1}{2}$.

Vậy $m=\frac{1}{2}$.

Bài 2. Tìm m để hai vecto $\overrightarrow{a}(2m-1;3)$ và $\overrightarrow{b}(2;1-m)$ vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Hai vecto trên vuông góc với nhau khi và chỉ khi

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\iff (2m-1).2+3(1-m)=0\iff m=-1$

Vậy m = –1.

Bài 3. Cho ba điểm A(–1; 2); B(m – 1; 3) và C(2; 1). Tìm m để tam giác ABC vuông tại B.

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC vuông tại B thì AB phải vuông góc với BC tại B hay

$\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0$

Ta có

$\overrightarrow{AB}=(m;1)$ và $\overrightarrow{BC}=(3-m;-2)$

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0\iff m(3-m)-2.1=0\iff m=1$ hoặc m = 2.

Vậy m = 1 hoặc m = 2.

Bài 4. Cho tam giác ABC với A(1; 6); B(2; 6); C(1; 1) và H(m; 2n+1). Tìm m và n để H là trực tâm tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

H là trực tâm tam giác ABC khi và chỉ khi AH vuông góc với BC và BH vuông góc với AC hay

$\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}\iff \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$ và $\overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{AC}\iff \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0$

Ta có $\overrightarrow{AH}=(m-1;2n-5); \overrightarrow{BH}=(m-2;2n-5);$

$\overrightarrow{BC}=(-1;-5); \overrightarrow{AH}=(0;-5)$

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}(m-1).(-1)-5(2n-5)=0\\ (m-2).0-5(2n-5)=0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}m=1\\ n=\frac{5}{2}\end{array}\right.$

Vậy với m = 1 và $n=\frac{5}{2}$ thì H là trực tâm của tam giác ABC.

Bài 5. Tìm m để hai vecto $\overrightarrow{a}(10m-7;1)$ và $\overrightarrow{b}(5;-10-8m)$ vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Hai vecto trên vuông góc với nhau khi và chỉ khi

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\Rightarrow (10m-7).5+1.(-10-8m)=0\Rightarrow m=\frac{15}{14}$

Vậy $m=\frac{15}{14}$.

Bài 6. Cho hai vecto $\overrightarrow{a}(-6;-6)$ và $\overrightarrow{b}(-9;m)$. Tìm m để hai vecto $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau.

Bài 7. Tìm m để hai vecto $\overrightarrow{a}(-3m-5;-10)$ và $\overrightarrow{b}(3;7+8m)$ vuông góc với nhau.

Bài 8. Cho ba điểm A(6; –10); B(6m +4; –5) và C(–2; –6). Tìm m để tam giác ABC vuông tại B.

Bài 9. Cho tam giác ABC với A(–1; 6); B(–2; 0); C(7; –8) và H(–10m; 5n+3). Tìm m và n để H là trực tâm tam giác ABC..

Bài 10. Tìm m để hai vecto $\overrightarrow{a}(-7m-10;7)$ và $\overrightarrow{b}(1;4-2m)$ vuông góc với nhau.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 chọn lọc, có đáp án hay khác khác:

• Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước cực hay (45 độ, góc nhọn, góc tù)
• Cách giải bài tập về Định lí Cô-sin trong tam giác (cực hay, chi tiết)
• Cách giải bài tập về Định lí Sin trong tam giác (cực hay, chi tiết)
• Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến (cực hay, chi tiết)
• Công thức, cách tính Diện tích tam giác (cực hay, chi tiết)

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

tich-vo-huong-cua-hai-vecto-va-ung-dung.jsp